מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה

Transcript

1 מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה 16 במרץ 2017

2 מבוא לחוגים ומודולים מהדורה הקדמה. תורת החוגים עשירה בשיטות ורעיונות, וחובקת דוגמאות מכל תחומי המתמטיקה. קורס ראשון בתחום מוגבל, מטבע הדברים, למושגים הפשוטים יותר. אחרי פרק מבוא כללי, המציג חוגים, אידאלים והומומורפיזמים,הפרק השני נותן הצצה לתורת המבנה ועוסק בכמה מחלקות חשובות של חוגים, ובטכניקה היסודית של מיקום ביחס לאידיל ראשוני. הפרק השלישי מוקדש לתחומי שלמות, שהם החוגים החשובים ביותר מנקודת המבט של תורת המספרים והגאומטריה האלגברית. הפרק הרביעי מוקדש לפולינום מעל תחומי שלמות, ובמיוחד מעל שדות. הפרק החמישי הוא מבוא לתורת המודולים, שהם המרחבים שעליהם פועלים החוגים השונים. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס 'אלגברה מופשטת 2' לתלמידי מתמטיקה, , באוניברסיטת בר אילן. הקורס (בהיקף של ארבע שעות הרצאה ושעתיים תרגיל, לאורך סמסטר אחד) הוא קורס שני באלגברה מודרנית (אחרי קורס סמסטריאלי בחבורות), והוא מכסה את היסודות של תורת החוגים, ואת תורת המודולים מעל תחומים ראשיים, עם היישומים של תורה זו לאלגברה לינארית. לצד החוברת הזו, ניתן להעזר גם בחוברת תרגילים השייכת לאותו קורס. החומר מחולק לסעיפים ותת סעיפים,המסודרים כך שמושגים חיוניים יופיעו מוקדם ככל האפשר, תוך שילוב של כמה דוגמאות נחוצות. בכל נושא מובאות ההגדרות והתוצאות העיקריות, כשהן פרושות לתרגילים קצרים ונוחים לעיכול. כל טענות העזר והשיטות הסטנדרטיות נוסחו כתרגילים. המהדורה הארוכה, המונחת לפניכם, כוללת הדרכה מפורטת ולפעמים פתרון מלא לתרגילים רבים, בעיקר אלו שיש להם אופי תאורטי יותר. סדר התרגילים בתוך כל סעיף נבחר בזהירות, כשכל תרגיל מופיע מיד כאשר הונחה התשתית לרעיונות הדרושים כדי לפתור אותו (אך בכפוף לאילוץ המקובל, והמתסכל במידת מה, הקובע שסדר המשפטים בעמוד מוכרח להיות קווי). תרגילים השייכים לאותה מדרגה לוגית מופיעים בסדר יורד של מידת הכלליות והעניין. החידוש, במידה שיש כאן כזה, הוא בהצמדת דרגת קושי לכל תרגיל: תרגילים קלים, מדרגה (*), דורשים בדרך כלל שליטה בהגדרות ותו לא; את רובם של אלה אפשר - ורצוי - לפתור בעל פה, תוך ציון ההגדרה או העובדה הרלוונטית. תרגילים טכניים מורכבים, לא רגילים או סתם קשים סומנו ב (***). שאר התרגילים קיבלו את הציון (**). סימנים נוספים, כמו ב (**+) או (** ), מציינים שהתרגיל עשוי להיות קשה או קל יותר מכפי שנראה במבט ראשון. במספר מקומות הרחבנו מעבר לרמה הנדרשת בקורס. כל התרגילים מנוסחים בלשון זכר, ועם הלומדות הסליחה. אודה לכל מי שיביא לתשומת ליבי שגיאות מתמטיות,השמטות, כפילויות או שגיאות כתיב, כדי שאוכל לתקנן במהדורה הבאה. עוזי וישנה,

3 תוכן עניינים 1 חוגים ואידיאלים מושגי יסוד אברים של חוגים אבר האפס קומוטטיביות אברי יחידה אברים הפיכים חוגים עם חילוק מחלקי אפס ואברים רגולריים תחומים ותחומי שלמות אברים נילפוטנטיים המאפיין תת חוגים תת חוגים בלי יחידה המר כז והמרכ ז יוצרים של תת חוג חוגים לא אסוציאטיביים חוגים אלטרנטיביים חוגי לי חוגי ז'ורדן חוגים לא אסוציאטיביים עם חילוק איזוטופיות אידיאלים וחוגי מנה אידיאלים חד צדדיים ודו צדדיים איחוד וחיתוך קבוצת יוצרים אידיאלים אמיתיים סכום ומכפלה של אידיאלים סכומים סופיים וכלליים מכפלה סריג האידיאלים מאפסים חוגי מנה הומומורפיזמים הומומורפיזמים של חוגים בלי יחידה

4 תוכן עניינים תוכן עניינים הגרעין והתמונה חוגים איזומורפיים משפטי האיזומורפיזם תת החוג היסודי הומומורפיזם ויוצרים החוג החופשי דוגמאות ובניה של חוגים בניות קלאסיות חוג השלמים מטריצות חוג האנדומורפיזמים פולינומים מכפלה ישרה של חוגים סכום ישר של חוגים אלגברות אלגברות חבורה אלגברת הקווטרניונים חוגים סדורים איחוד על שרשראות גבול ישר גבול הפוך אידיאלים ראשוניים ומקסימליים אידיאלים מקסימליים קיומם של אידיאלים מקסימליים אידיאלים מינימליים אידיאלים מקסימליים של חוגי פונקציות חוגים פשוטים הקשר לאידאלים מקסימליים חוגים פשוטים קומוטטיביים בניה של חוגים פשוטים חוגים n פשוטים פירוק למכפלה ישרה אידיאלים קו מקסימליים משפט השאריות הסיני משפט השאריות הסיני מעל השלמים אידמפוטנטים אידמפוטנטים מרכזיים בתורת המבנה פירוק פירס חוגים בוליאניים אידאלים אידמפוטנטיים חוגים מקומיים שדה המספרים הממשיים מסננים וחוגים בוליאניים אידיאלים ראשוניים

5 תוכן עניינים תוכן עניינים חוגים ראשוניים אידיאלים ראשוניים רדיקלים מיקום ושדה השברים מיקום מרכזי הכללה למקרה הלא רגולרי האוניברסליות של המיקום האידיאלים של. S 1 R חוג השברים הטוטאלי מיקום באידיאל ראשוני שדה השברים תחומי שלמות חוגי שלמים ריבועיים האינוולוציה, העקבה והנורמה חוגים בעלי נורמה אברים ראשוניים ואי פריקים יחס החילוק תאור לפי אידיאלים אברים הפיכים אברים הפיכים של. O D אברים אי פריקים אברים ראשוניים פירוק לגורמים חוגים אטומיים חוגים נתריים תחומי פריקות יחידה תחומים ראשיים מחלק משותף מקסימלי תחומי. gcd תחומי בזו כפולה משותפת מינימלית חוגים אוקלידיים אוקלידיות של חוגים סמוכים אוקלידיות של חוגי שלמים הראשוניים של 1] Z[ שימושים נוספים בתורת המספרים תנאי הכרחי לאוקלידיות קוואזי אוקלידיות הערכות ותחומי הערכה הערכות ותחומי הערכה חבורות סדורות הערכה של שדה תחומי הערכה הערכות מדרגה

6 תוכן עניינים תוכן עניינים הערכות בדידות מדרגה טורי לורן ודוגמאות נוספות טורי לורן שדה. Puiseux טורי לורן בשני משתנים טורי חזקות דועכים מעל שדה הערכה טורי חזקות ארוכים פולינומים ושדות מבוא לתורת השדות ממד של אלגברות הפולינום המינימלי שורשים ושדה מפצל סיפוח שורשים פירוק של פולינומים שורשים רציונליים קריטריון אייזנשטיין הלמה של גאוס תכולה של פולינום הלמה של גאוס פירוק פולינומים מעל תחום פריקות יחידה מודולים מבוא הגדרה ודוגמאות מושגי יסוד תת מודולים מודול מנה סכום של תת מודולים מכפלה ישרה וסכום ישר הומומורפיזמים אלגברה לינארית של מודולים מודולים חופשיים אינווריאנטיות הדרגה מודולים ציקליים פיתול מודול נאמן מודולים מעל תחום ראשי מודולים נוצרים סופית מטריצת היחסים מטריצות מעל תחום ראשי הצורה האלכסונית הקנונית יחידוּת הצורה האלכסונית מטריצות יחסים דומות פירוק למרכיבים ציקליים

7 תוכן עניינים תוכן עניינים תת מודול הפיתול כמחובר ישר מיון החבורות האבליות הנוצרות סופית צורות קנוניות של מטריצות מעל שדה מרחב וקטורי כמודול לפי מטריצה מחלקות צמידות הצורה הרציונלית המטריצה המלווה של פולינום צורת ז'ורדן

8 תוכן עניינים תוכן עניינים 8

9 פרק 1 חוגים ואידיאלים הפרק הראשון עוסק במושגי היסוד של תורת החוגים: המבנים האלגבריים חוג בלי יחידה וחוג; האברים המיוחדים בחוג בלי יחידה; תת חוגים, אידיאלים חד צדדיים ודו צדדיים; הומומורפיזמים וחוגי מנה; ומציג גם רשימה ארוכה של דוגמאות ודרכים לבנות חוגים חדשים מחוגים קיימים. 1.1 מושגי יסוד בסעיף זה נגדיר חוגים, שהם האובייקטים המרכזיים של הקורס; נציג כמה תכונות פשוטות של אברים בחוג; וניתן שמות הולמים לחוגים שאבריהם מפגינים התנהגות מעניינת. הגדרה מערכתמתמטית,+; R;0 (שבההפעולות,+ נקראת'חיבור'ו'כפל'בהתאמה) נקראת חוג בלי יחידה אם + ;0 ; R חבורה אבלית,ופעולת הכפל היא אסוציאטיבית ודיסטריבוטיבית (מימין ומשמאל) ביחס לחיבור. הגדרה אםR חוגבלייחידה,החבורה +; R;0 נקראתהחבורההחיבוריתשלR. להלן כמה דוגמאות מוכרות: חוג המספרים השלמים; כל שדה, כמו הרציונליים Q או הממשיים R; והחוג של מטריצות מעל שדה, כמו (Q) M. n אברים של חוגים במבוא לתורת החוגים מגדירים חבורה למחצה כמערכת מתמטית שיש לה פעולה אסוציאטיבית. בחבורה למחצה יכולים להיות אברי יחידה מימין ומשמאל, ואבר יחידה (דו צדדי). חבורה למחצה שיש בה אבר יחידה נקראת מונויד. במונויד, אבר יכול להיות הפיך מימין ומשאל, או הפיך (משני הצדדים). מונויד שבו כל האברים הפיכים נקרא חבורה. גם בתורת החוגים, הצעד הראשון הוא לזהות כמה אברים מיוחדים, כדי שנוכל להגדיר מהו חוג (''חוג בלי יחידה'' שיש לו יחידה). משם נתקדם ללמוד אברים יותר מעניינים, שלחלקם יש מקבילה בתורת המונוידים. מן התכונות האלה מתקבלות כמה משפחות מעניינות של חוגים; הדוגמא הידועה ביותר היא שדה, שאינו אלא חוג קומוטטיבי שבו כל האברים הפיכים. 9

10 1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים אבר האפס תרגיל (*) האבר 0 בחוג מקיים = 0 0 x x = 0 לכל ;x R ותכונה זו מאפיינת אותו (כלומר, אם z x = z לכל x, אז = 0 z). לכן הוא נקרא אבר האפס,בהאהידיעה: ישרקאחדכזה. הדרכה. = קומוטטיביות הגדרה אבריםa,b בחוגהםמתחלפיםאםba.ab = אםכלהאבריםבחוגמתחלפיםזהעם זה,הוא נקרא חוג קומוטטיבי. אברי יחידה הגדרה יהיR חוגבלייחידה. אברR e הוא יחידהמימיןאםx xe = לכל x, R ויחידהמשמאלאםx exלכלr = x. אםeיחידהגםמימיןוגםמשמאל,הואנקראאבריחידה. המינוח 'חוג בלי יחידה' אינו בא לייחס למערכת המתמטית הזו תכונה שלילית כלשהי, אלא רק לומר שאבר היחידה נעדר מן ההגדרה. מיד נראה שלחוג בלי יחידה יכול שיהיה אבר יחידה, ובמקרה כזה נקרא לו חוג. דוגמא חוג השלמים Z הוא 'חוג בלי יחידה', שיש בו אבר יחידה: המספר 1. לעומת זאת, 2Z הוא חוג בלי יחידה, שאין בו אבר כזה. תרגיל (*) אם יש בחוג יחידה מימין e ויחידה משמאל e אז יש בחוג אבר יחידה. הדרכה. e.e = e e = תרגיל (*) היחידה יחידה (אם היא קיימת). כלומר, בחוג לא יכולים להיות שני אברי יחידה. הדרכה. קל וחומר מתרגיל יש יחידה מימין איבר יחידה יש יש יחידה משמאל יש אידמפוטנטים אבר היחידה מוגדר לפי האינטרקציה שלו עם אברים אחרים; אבל יש לו גם תכונה פנימית: = כל יחידה מימין או משמאל מקיימת את השוויון הזה. בעקבות זאת, כל אבר e R המקיים e 2 = e נקרא אידמפוטנט. הדיאגרמה משמאל מציגה היררכיה גסה של טיפוסי חוגים. לפי תרגיל 1.1.7, אם יש בחוג אבר יחידה, אז אין בו יחידות נספות. לעומת זאת, יכולים להיות בחוג אידמפוטנטים רבים; נעסוק באברים כאלה בתת סעיף הגדרה חוג בלי יחידה שיש לו אבר יחידה נקרא חוג (ולפעמים,לשם הדגשה,חוג עם יחידה). כאשר יש אבר יחידה, הוא יחיד (תרגיל 1.1.8), ולכן נסמן את אבר היחידה בסימון השמור 1. כשיש סכנה לבלבול, מסמנים את היחידה של R בסימון 1. R אפשר לפתח חלקים נכבדים מן התאוריה בקורס הזה עבור חוגים בלי יחידה; אלא שלרוב הדוגמאות החשובות יש יחידה, ולכן נתרכז בחוגים כאלה. ראו גם תרגילים , , המדגימים שתכונות מסויימות מסוגלות לייצר אבר יחידה; ותרגיל (עמ' 30), המלמד שכל חוג בלי יחידה אפשר להרחיב לכדי חוג עם יחידה. 10

11 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.1. מושגי יסוד תרגיל (**) אם 1 R = 0 R (ובאופן כללי יותר, אם אבר האפס הוא אבר יחידהימניאושמאלי) אז{ 0 } = R ;זהוחוגהאפס. כלומר,בכלחוגשאינואפס, אברי האפס והיחידה שונים. חוג בלי יחידה A 0 הוא טריוויאלי אם = 0 0,A 2 כלומר לכל x,y A 0 מתקיים = 0.xy בחוג כזה מוגדרת למעשה רק החבורה החיבורית, ומאידך על כל חבורה אבלית אפשר להגדיר מבנה של חוג טריוויאלי. לכן מקומם של חוגים טריוויאליים אינו בקורס על תורת החוגים, אלא בקורס בתורת החבורות האבליות. תרגיל (*) חוגעםיחידהאינוטריוויאלי,אלאאםהואחוגהאפס. דוגמא דוגמאות לחוגים קומוטטיביים: Z/nZ,C,R,Q,Z (השאריות מודולו,n עם החיבור והכפל מודולו n). דוגמאות לחוגים לא קומוטטיביים: (Q) M. n (R) M, n אברים הפיכים האמור בסעיף זה מתייחס למונויד הכפלי 1,,R, בלי קשר לפעולת החיבור, והוא תקף בכל מונויד. הגדרה יהיR חוג. אברR x הואהפיךמימיןאםקייםאברR y כךש 1 = xy (במקרהכזהy נקרא'הפכימימין'שלx ),והפיךמשמאלאםקייםz כךש 1 = zx (z הוא'הפכי משמאל'שלx ). האברx הואהפיךאםקייםy כךש 1 = yx.xy = אם אבר הפיך, אז הוא בוודאי הפיך מימין ומשמאל. בחוג קומוטטיבי כל המושגים האלה מתלכדים, אבל באופן כללי האפשרויות פתוחות: אבר יכול להיות לא הפיך מימין וגם לא הפיך משמאל; הוא יכול להיות הפיך מימין אבל לא משמאל, או להיפך; ויכולים להיות לו הפכיים ימניים רבים או הפכיים שמאליים רבים. בתרגיל (עמ' 37) ניתן דוגמא לאבר הפיך משמאל אבל לא מימין (ולהיפך). עם זאת: תרגיל (*) אם x הפיך מימין ומשמאל אז הוא הפיך, ויש לו הפכי יחיד. הערה. הטענהאינהטריוויאליתמשוםשההנחההיאשקיימים y,z כך ש 1 = xz,yx = אבלא פריוריאיננויודעיםש z.y = לכן, אם x הפיך, אפשר לסמן את ההפכי שלו בסימון 1 x. תרגיל (*) אםx הפיךאזגם 1 x הפיךו x.(x 1 ) 1 = תרגיל (*) אםx,y הפיכים,אזגםxy הפיך. תרגיל (**) בחוגקומוטטיבי,אם xy הפיךאזגם x,y הפיכים. הערה. טענהזו נכונה לפעמים גם בחוגים לא קומוטטיביים (למשל בחוגי מטריצות מעל שדה),אבל לא באופן כללי: ראו תרגיל (עמ' 37 ). הגדרה מסמניםב R אתאוסףהאבריםההפיכיםשלR ;זוהיחבורתההפיכיםשלR. תרגיל (**) לכלחוגR, R היאאכןחבורה. 11

12 1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים חוגים עם חילוק הגדרה חוגAשבופעולותהכפלמימיןומשמאלax lומימיןxa a :x rהפיכות a :x (כפונקציותA A ) לכל 0 a,נקראחוגעםחילוק. תרגיל (+*) התכונות הבאות שקולות עבור חוג A:.a הואחד חד ערכילכל 0 l a.1.a הואחד חד ערכילכל 0 r a.2.3 A הואתחום(היינואיןבומחלקיאפס). תרגיל (+**) התכונות הבאות שקולות עבור חוג A (עם יחידה):.a הואעללכל 0 l a.1.a הפיךלכל 0 l a.2 3. כלאברשונהמאפסשלA הואהפיךמימין. 4. כלאברשונהמאפסשלA הואהפיך..5 A הואחוגעםחילוק. הדרכה. :(1) (2) ברור. :(3) (1) יהי 0 a,אזלפיההנחהיש a כךש 1 = ) a(a.aa = l :(4) (3) יהי 0,a אזלפיההנחהיש 0 a כךש 1 = aa,ויש a כךש 1 = a a ;כעתa a = aa a = ולכן 1 a.a = :(5) (4) לכל 0 1,a l a 1l a = l al a 1 = ו 1 = 1 a.r a 1r a = r ar :(2) (5) ברור. תרגיל ( ***) התכונותהבאותשקולותעבורחוגבלייחידה 0 0 :A.a הואעללכל 0 l a.1.a הפיךלכל 0 l a.2 A 0.3 הואחוגעםיחידה,עםחילוק. הדרכה. :(1) (3) ברור. :(2) (1) לפיההנחהR ar = l a(r) = לכל 0.a נניחש 0 a,b,אזr,abr = ar = ולכן 0.ab הוכחנו ש R תחום,וזה מספיק לפי תרגיל (2) (3): מכיוון שכל אופרטורי הכפל משמאל חד חד ערכיים, A 0 הואתחום. לפיההנחה.a l a(a 0 ) = aa 0 מכאן,לפיתרגיל ,שישב A 0 אבריחידה. כעתאפשר ליישם את הגרירה (2) (5) בתרגיל תרגיל (*) A הואחוגעםחילוקאםורקאםישב A פתרוןיחידx לכל משוואהb ax = אוb xa = שבה 0.a תרגיל (**) הוכח,בחוגעםחילוקR,אתזהותHua : לכלR x,y,אם 0 y ו 1 0,y x אזמתקיים (x 1 +(y 1 x) 1 ) 1 = x xyx. 12

13 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.1. מושגי יסוד תרגיל (+**) אםלכל 0 a קייםR x כךש 1 = xax,אזr הואחוג עם חילוק. (ראה גם תרגיל , עמ' 49.) הגדרה שדה הוא חוג קומוטטיבי עם חילוק. אנו מכירים שדות רבים: C R, Q, או Z p כאשר p ראשוני (באלה נטפל בזהירות בהמשך). לעומת זאת, בניה של חוג עם חילוק שאינו שדה היתה אתגר לא פשוט, ורק ב 1843 מצא ויליאם רואן המילטון את הדוגמא הראשונה (ראו תת סעיף 1.3.2). גם את הדוגמא הזו נציג בהמשך. חוגים עם חילוק דומים לשדות, בכך שאפשר לפתח מעליהם אלגברה לינארית: אפשר להגדיר מעליהם מרחבים וקטוריים, למרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק יש בסיס, יש ממד מוגדר היטב, אפשר לייצג העתקות לינאריות כמטריצות, אפשר לדרג מטריצות בפעולות אלמנטריות, וכו'. חסרון בולט לתאוריה הזו הוא בכך שאין דטרמיננטה. מעל שדה, הדטרמיננטה היא פונקציה כפלית (F) F.det :GL n תכונה זו אינה ניתנת להכללה: מעל חוג עם חילוק הדטרמיננטה המוגדרת לפי סכום מתחלף של המכפלות על אלכסונים מוכללים אינה כפלית. עם זאת יש הומומורפיזם חלש יותר, R/,GL n (R) R הנקרא דטרמיננטת דודונה.(Dieudonné) מחלקי אפס ואברים רגולריים הגדרה אם 0 z,z מקיימים 0 = zz,אזz נקראמחלקאפסשמאלי,ו z מחלקאפס ימני. אברשונהמאפסשאינומחלקאפסשמאליהוארגולרימשמאל,ואברשאינומחלקאפסימני הוארגולרימימין. אברשהוארגולריגםמימיןוגםמשמאלנקרארגולרי. תרגיל (*) אם z רגולרימשמאלאזהואניתןלצמצוםמשמאל: מ = zx.x = x נובע zx תרגיל (**) נניחש z הואמחלקאפסשמאלי. אזלכלR xz x, מחלק אפסשמאליאלאאם 0 =.xz תרגיל (**) קבוצת האברים הרגולריים של R סגורה לכפל. תרגיל (+**) יהיו R חוג ו R a. נסמן ב l a את פעולתהכפל משמאל.x אתפעולתהכפלמימיןxa r a x,וב ax.1 a l חד חד ערכיאםורקאםa רגולרימשמאל. 2. a l עלאםורקאםa הפיךמימין. הדרכה. לחוגישאבריחידה..3 אם l a עלאז r a חד חד ערכי..4 אםa רגולרימשמאלוהפיךמימין,אזהואהפיך. הדרכה. = 0 a 1).a(a 13

14 1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים.5 מארבעתהתנאים" l a חד חד ערכי''," l a על''," r a חד חד ערכי''," r a על'' אפשרלכאורהלהרכיב 2 4 הנחותעלa. הראהשהןמצטמצמותלמעשה ל 6 האפשרויות הבאות (נוסף על קבוצת ההנחות הריקה): הפיך הפיך מימין רגולרי הפיך משמאל רגולרי משמאל רגולרי מימין מכיוון שמחלקי אפס מרחיקים את החוג מלהיות שדה, שהוא החוג ה'מוצלח' ביותר, חשוב לנו להכיר חוגים שבהם יש הרבה אברים רגולריים. תרגיל (+*) אםכלהאבריםשלR רגולרייםמשמאל,אזכולםרגולריים גם מימין. תחומים ותחומי שלמות הגדרה חוגשאין בו מחלקי אפסנקרא תחום. חוגקומוטטיבי בלי מחלקי אפסנקרא תחום שלמות. טענה בתחום מתקיימות תכונת הצמצום מימין (כלומר, מ xy = x y עם 0 y נובע x x); = ותכונת הצמצום משמאל. תרגיל (*) חוגעםחילוקהואתחום. שדה חוג עם חילוק תחום שלמות תחום בפי שהסברנו בסעיף הראשון, אנו עוסקים לאורך כל הקורס בחוגים עם יחידה. בכמה מקרים אפשר לקבל את היחידה בחינם, בלי שנצטרך להניח את קיומה מראש. תרגיל (*) אידמפוטנט בתחום בלי יחידה הוא אבר (ה)יחידה. הדרכה. הגדרנו תחוםבהגדרה גם ללא אבריחידה, = 0 a e(a ea) = ea e 2 גורר ea = a לכל,a וכך גם מימין. הערה. בתחוםעםיחידהאיןאידמפוטנטיםלאטריוויאלייםבגלל 0 =.e(1 e) תרגיל (*) בתחום, כל אבר הפיך משמאל הוא הפיך. הדרכה. אם = 1 xy אז.yx = ולכן 1 (yx) 2 = yxyx = yx תרגיל (**) כלתחוםסופיהואחוגעםחילוק. הדרכה. כלמונוידסופיעםצמצוםהוא חבורה. 0 a b c b.r = הראה a תרגיל (**) נתבונןבחוג : a,b,c Z שכלאבריונילפוטנטייםמסדר 2 (כלומרמקיימים 0 = 2 x ),אבלהואאינוקומוטטיבי. 14

15 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.1. מושגי יסוד אברים נילפוטנטיים הגדרה אברR a הואנילפוטנטיאםקיים 1 n כךש 0 = n.a תרגיל (*) כלאברנילפוטנטי(שונהמאפס) הואמחלקאפס. תרגיל (**) בחוגקומוטטיבי,אםa נילפוטנטיאזלכלx גםax נילפוטנטי. תן דוגמא נגדית לטענה זו בחוג שאינו קומוטטיבי. תרגיל (**) בחוג קומוטטיבי,סכום של אברים נילפוטנטיים הוא נילפוטנטי. תרגיל (**) אםR a נילפוטנטיאז 1 a הפיך. המאפיין 1+ +1,אםקייםכזה, }{{} הגדרה יהיR חוג. המספר 0 > n הקטןביותרכךש 0 = n נקראהמאפייןשלR. אםלאקייםn כזה,אומריםשהמאפייןהואאפס. דוגמא המאפיין של Z/nZ הוא n, והמאפיין של Z הוא 0. לכלR.x } x+ +x {{} תרגיל (*) אםn הואהמאפייןשלR,אז 0 = n תרגיל (**) המאפייןשלתחוםהואאפסאומספרראשוני תת חוגים הגדרה יהי R חוג. תת קבוצה של R נקראת תת חוגאם S סגורה לחיבור, חיסור וכפל, וכוללתאתאברהיחידהשלR. תרגיל (**) אםR S תת חוג,אזS הואחוגבזכותעצמו,עםהפעולות המצומצמות מ R. תרגיל (*) תת חוג של חוג קומוטטיבי הוא חוג קומוטטיבי. תרגיל (**) תת חוגשלתחוםהואתחום. תת חוגשלתחוםשלמותהוא תחום שלמות. תרגיל (**) תןדוגמאלתת חוגשלשדהשאינושדה. הסיבה לתופעה האחרונה היא הרגישות של תכונת ההפיכות לחוג: בהחלט יתכן ש R a S יהיה הפיך ב R אבל לא ב S (משום ש R a 1 אבל a. 1 S שימו לב. לסימון 1 a יש משמעות רק כאשר ברור מההקשר על איזה חוג R מדובר, שבו a הפיך; באופן כללי, איננו יכולים לבטא את הטענה 'a אינו הפיך ב S ' בסימון a!) 1 S תרגיל ( ***) תהי Λ משפחה של תת חוגים של חוג R. הראה שגם החיתוךS S Λ הואתת חוג(השווהלתרגיל ). 15

16 1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים תת חוגים בלי יחידה הגדרה יהיR חוגבלייחידה. תת קבוצהR S הסגורהלפעולותהחיבור,החיסורוהכפל נקראתתת חוגבלייחידהשלR. דוגמא חוג (עם יחידה) S עשוי ) להיות ( תת חוג ) בלי ( יחידה של חוג (עם יחידה) 0. במקרה כזה S אינו אחר R, בלי להכיל את אבר היחידה שלו: תת חוג של R, משום שאין להם אותו אבר יחידה. תרגיל (**) לגבי כל אחד מן הבאים בדוק שהוא חוג בלי יחידה; בדוק האםישלואבריחידה;לגביכלהכלה(לרבותאלושאינןמפורשות) קבעהאם מדובר בתת חוג: ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 ( ). כרגיל, אין מניעה לכך ש R או S יהיו חוגים (עם יחידה). תרגיל ( ***) תהיΛ משפחהשלתת חוגיםבלייחידהשלחוגבלייחידה R. הראהשגםהחיתוךS ΛS הואתת חוגבלייחידה. המר כז והמרכ ז הגדרה יהיR חוג. המר כזשלR הוא{ xz.z(r) = {z R: x R : zx = תרגיל (+*) הראהשהמרכזשלחוגהואתת חוגשלו. תרגיל (**) הוכח שהמרכז של חוג R הוא תת חוג מלא, כלומר, שאם אבר Z(R) α הוא הפיך ב R, אז הוא הפיך כבר ב ( Z(R. הדרכה. לכל x, R.α 1 α,ומכאןש ( Z(R 1 x xα 1 = α 1 (xα αx)α 1 = 0 בדומה לזה אפשר להגדיר את המרכ ז: הגדרה תהיR A תת קבוצהשלחוג. המרכ זשלA הוא C R (A) = {x R: a A : ax = xa}. תרגיל (**) הראה שהמרכז של כל תת קבוצה הוא תת חוג. תרגיל (**).1 הראהשאם A A אז( A ).C R (A ) C R.2 הראהשלכלקבוצהA)),A ).A C R (C R.3 הסקש ( A ).C R (C R (C R (A))) = C R 16

17 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.1. מושגי יסוד יוצרים של תת חוג יש שתי דרכים יעילות לתאר תת חוג: דרך אחת היא על ידי משוואות המגדירות את אבריו (למשל, תת החוג של המטריצות המשולשיות עליונות, בתוך חוג המטריצות, מוגדר על ידי האילוצים = 0 ij a לכל.(i > j דרך שניה, כמו בחבורות, היא על ידי קבוצת יוצרים. יהיו R 0 R חוג ותת חוג, ותהי X קבוצה שאבריה מתחלפים עם אברי R. 0 הגדרה תת החוגהנוצר(מעל R) 0 על ידיX הואחיתוךכלתת החוגיםR S המכילים את R 0 ואת.X מסמניםתת חוגזהבסימון[ X ].R 0 אםR R,אומריםש R 0 [X] = נוצרעל ידי.X אם הקבוצה } k X = {a 1,...,a סופית, מסמנים ] k.r 0 [X] = R 0 [a 1,...,a במקרה זה אומרים ש R נוצר סופית מעל R. 0 תרגיל (*) תת החוג הנוצר על ידי X הוא תת החוג הקטן ביותר (ביחס להכלה) ביןכלתת החוגיםהמכיליםאת R 0 ואת X. תרגיל (**) נניחש R חוגקומוטטיבי(דיבכךש ( Z(R a). אז R 0 [a] = {α 0 + +α n a n : α 0,...,α n R 0 }. תרגיל (***) מצאקבוצתיוצריםשלQ מעלZ. הראהשאיןקבוצתיוצרים סופית כזו. מצא קבוצת יוצרים מינימלית (כלומר,כזו שאין לה תת קבוצה אמיתית היוצרת בעצמה.) חוגים לא אסוציאטיביים החוגים שהגדרנו בסעיף הראשון, ושנלמד בכל שאר הקורס, מקיימים את כונהת האסוציאטיביות של הכפל. אם מוותרים על האסוציאטיביות של הכפל התאוריה נעשית כללית מדי,ובדרך כלל אינה מעניינת. עם זאת החלפת האסוציאטיביות בהנחות אחרות מולידה כמה מערכות חשובות. חוג לא אסוציאטיבי הוא מבנה אלגברי עם שתי פעולות, חיבור וכפל, המקיים את האקסיומות המגדירות חוג למעט אולי האסוציאטיביות של הכפל, וקיומו של אבר היחידה. למערכות כאלה יש חשיבות רבה בתחומים שונים של המתמטיקה. אי אסוציאטיביות משמיטה מן התאוריה עובדות שאנו לוקחים כמובנות מאליהן: Ra אינו בהכרח אידיאל שמאלי, אבר הפיך מימין ומשמאל אינו בהכרח הפיך, סכום של אידאלים נילפוטנטים אינו בהכרח נילפוטנטי, ועוד. החוגים שלנו ישארו אסוציאטיביים בכל הסעיפים האחרים של החוברת. כדי להבדיל את פעולת הכפל בחוג לא אסוציאטיבי מן הכפל האסוציאטיבי, משתמשים לפעמים בסמונים אחרים, כגון,[a,b],a b וכדומה. הגדרה בחוג לא אסוציאטיבי R, מגדירים a(bc) ;(a,b,c) = (ab)c ביטוי זה הוא האסוציאטורשלa,b,c. תרגיל (*) חוגR הואאסוציאטיביאםהואמקייםאתהזהות 0 =.(a,b,c) הגדרה המר כז של חוג לא אסוציאטיבי A הוא אוסף האברים a המקיימים = (a,a,a) (זהותת חוגשלA ). (A,a,A) = (A,A,a) = [a,a] = 0 17

18 1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים חוגים אלטרנטיביים הגדרה חוגנקראאלטרנטיביאםהואמקייםאתהזהויות 0 = (a,b,b) ( a,a,b )(אפשר = להכליל ולהגדיר חוג אלטרנטיבי שמאלי או ימני). תרגיל (*) כל חוג אסוציאטיבי הוא אלטרנטיבי. תרגיל (*) בחוג אלטרנטיבי, ) 3 (x σ1,x σ2,x σ3 ) = sgn(σ)(x 1,x 2,x (מכאן שמן של האלגברות האלה). חוג המטריצות מעל חוג לא אסוציאטיבי מוגדר באותה דרך שבה מגדירים מטריצות מעל חוג אסוציאטיבי (הגדרה 1.3.4). תרגיל (**) אם חוג המטריצות (A) M 2 הוא אלטרנטיבי משמאל, אז A מוכרח להיות חוג אסוציאטיבי. תרגיל (+***) (משפט ארטין) בחוג אלטרנטיבי,כל תת חוג הנוצר על ידי שני אברים הוא אסוציאטיבי. חוגי לי הגדרה חוגלאאסוציאטיבי,שפעולתהכפלשלו[ a,b ] ( a,b )מקיימת[ b,a ] [a,b] = ואתזהותיעקובי 0 = [ a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b ]],נקראחוגלי. תרגיל (**) יהיR חוגאסוציאטיבי. החוג R מוגדרכקבוצהR עםאותה פעולת חיבור, ופעולת הכפל.[a,b] = ab ba הראה ש R הוא חוג לי (לפי משפט פואנקרה בירקהוף ויט, כל חוג לי שהוא מרחב וקטורי מעל שדה, מוכל בחוגמהצורה.(R תרגיל (**) מצאזהותמהצורה[ a],b]+[[[?,?],b],a,[?,?]]] [[a,b],[c,d]] = המתקיימת בכל חוג לי. תרגיל (**) בדוק את הזהות [[[x 1,x 2 ],x 3 ],x 4 ]+[[[x 4,x 3 ],x 2 ],x 1 ]+[[[x 3,x 4 ],x 1 ],x 2 ]+[[[x 2,x 1 ],x 4 ],x 3 ] = 0. תרגיל (**) בדוק את הזהות 4 σ i ([[[[x 5,x 4 ],x 3 ],x 2 ] [[[x 5,x 2 ],x 4 ],x 3 ] [[[x 5,x 3 ],x 2 ],x 4 ],x 1 ]) = 0 i=0 כאשרσ פועלעלהמשתנים x 1,...,x 5 באופןציקלי, i+1.x i x 18

19 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.1. מושגי יסוד תרגיל (***) ) ex. (Magnus, Karrass and Solitar, Combinatorial Group Theory ; תהי X 1 קבוצהסדורה. הקבוצה X 2 מוגדרתכקבוצתהזוגות[ y,x ],x,y X 1 ).y > y ו x = x או x > x אםורקאם [y,x] > [y,x y ),עםיחסהסדר[ > x הסדרמורחבל X 1 X 2 לפיהקביעהשכלאברב X 2 גדולמכלאברב.X 1 יהי 3.n אברי הקבוצה X n הם האברים מהצורה [[u,v],w] כאשר,u X i,i + j + k = n,[u,v] X i+j,w X k,v X j ו v.[u,v] > w הסדר על X n מוגדר כמקודם ]),v [u,v] > [u אם v v > או v v = ו u ;(u > ומומשך לכל X 1 X n על ידיהקביעהשכלאברב X n גדולמכלאברבקבוצות הקודמות. הוכחשהסדרעל X n הואלינארי. (הקבוצה X n היאבסיסל"אלגברתליהחופשיתהנוצרתעל ידי X ",שלא 1 נגדירכאן. לפינוסחתויט, (. X n = 1 n d n µ(n/d) X 1 d חוגי ז'ורדן הגדרה חוג לא אסוציאטיבי שבו 2 הפיך, שפעולת הכפל שלו (a,b) a b מקיימת a b = b a ואתזהותז'ורדן(( a (b (a a ( a b) (a a ),נקראחוגז'ורדן. = תרגיל (**) יהיR חוגאסוציאטיבישבו 2 הפיך. החוג + R מוגדרכקבוצה R עםאותהפעולתחיבור,ופעולתהכפלab+ba.a b = הראהש + R הואחוג ז'ורדן. תרגיל (***) לכלחוגאלטרנטיביR, R + הואחוגז'ורדן. חוגים לא אסוציאטיביים עם חילוק חוג לא אסוציאטיבי A (לאו דווקא עם יחידה) נקרא חוג עם חילוק אם הפעולות.a לכל 0 (A A הפיכות (כאופרטורים לינאריים r a :x ו xa l a :x ax תרגיל (*) יהי A חוג לא אסוציאטיבי. התכונות הבאות שקולות:.1 כל l a חד חד ערכי,.2 כל r a חד חד ערכי,.3 A הואתחום(כלומראיןבומחלקיאפס). הדיאגרמה הבאה מציגה תכונות אפשריות של חוג לא אסוציאטיבי (כשנאמר ''כל a'' הכוונה לכל 0 a), עם הקשרים הלוגיים ביניהן. כל ההגדרות מתלכדות במקרה האסוציאטיבי אל ההגדרה של חוג עם חילוק (זה מוכח בתרגילים ו ). כמו במקרה האסוציאטיבי, אבר a הוא הפיך אם יש b כך ש 1 = ba.ab = 19

20 1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים יחידה + חילוק חילוק יחידה + a l הפיכים יחידה + a l a,r על כל a הפיך l a הפיכים כל l a,r a על יחידה + כל l a על כל a הפיך מימין ומשמאל כל a הפיך מימין כל l a על תרגיל (+***) הוסף חצים נכונים לדיאגרמה, אם יש כאלו, ותן דוגמאות נגדיות המראות שאין גרירות אחרות. תרגיל (**) תהיD אלגברתחילוקמממדאינסופימעלהשדה F. נבחר העתקהלינאריתחד חד ערכיתD D : f שאינהעל. נגדירf(a)b.a b = אז ב (,D) אופרטורי הכפל משמאל הפיכים;אבל אופרטורי הכפל מימין אינם כאלה, ולכן(, D ) אינהאלגברתחילוק(אפשרלבחורבנוסף 1 = (1)f כדילשמורעל אבר היחידה). תרגיל (+**) הראה שעבור אלגברות מממד סופי, אם כל l a על, אז A אלגברת חילוק. הסק שהדיאגרמה הקודמת מתכווצת לזו הנתונה לצד התרגיל הזה. הדרכה. תרגיל חילוק + יחידה כל a הפיך חילוק כל a הפיך מימין ומשמאל כל a הפיך מימין תרגיל (+***) האםבחוגעםחילוק(עםיחידה) כלאברהואהפיך? מה אםנוסיףאתההנחהשהממדמעלהמרכזסופי? תרגיל (**) בחוג לא אסוציאטיבי עם חילוק: אם u יחידה משמאל, אין אידמפוטנט מלבד u. תרגיל (+**) תן דוגמאות לאלגברות לא אסוציאטיביות עם חילוק מממד 2,עם התכונות הבאות:.1 ישיחידהמשמאל,אבלאיןיחידה. הדרכה. A = Fu+Fy כאשרu,yu = θy,uy = y,u 2 =.θ F 2 y ;כאשר 2 = u.2 ישאידמפוטנטיחיד,אבלאיןיחידהמימיןאומשמאל. הדרכה. B = Fe+ Fy כאשר 20.θ F 2 y ;כאשר 2 = θe,ey = ye = θy,e 2 = e

21 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה.3 יש שני אידמפוטנטים בלתי תלויים. הדרכה. Fe C = Fe + כאשר,e 2 = e,e 2 = e.θ F 2 e ;כאשר e = e+e,ee = (1 θ)e θe.4 אין אידמפוטנטים. הדרכה. D = Fx + Fy כאשר,yx = 2x + y,xy = x + 2θy,x 2 = θx.(θ +3) 2 8 ו F 2 θ F 2 y ;כאשר 2 = θx תרגיל (+**) [דוגמא: ממד סופי,כל האברים הפיכים,לא אלגברת חילוק]. יהי F שדה. על המרחב הוקטורי A = F + Fx + Fy נגדיר כפל לפי = 1,xy A מימיןומשמאל, אבל הפיך הראהשכלאבר שלA.x 2 = y 2 = 0,yx = 1 אינה אלגברת חילוק. אם = 2,charF הראה שכל אברי A הפיכים, ו A אינה אלגברת חילוק. איזוטופיות יהי A מרחב וקטורי מעל שדה F. שתי פעולות בילינאריות m,m A: A A הן איזוטופיות אם יש העתקות לינאריות הפיכות f,g,h:a A כך ש = (x,y)) h(m g(y)) m(f(x), (זוהי בעצם ''החלפת בסיס'' משולשת, בשתי הכניסות והיציאה של פעולת הכפל). תרגיל (*) יחס האיזוטופיות הוא יחס שקילות על אוסף פעולות הכפל האפשריות על A. תרגיל (*) איזוטופיהשבהh f = g = אינהאלאאיזומורפיזם. איזוטופיה כללית אינה שומרת על אסוציאטיביות, ולכן הערך שלה בתורת החוגים האסוציאטיבית מוגבל ביותר. עם זאת עבור אלגברות לא אסוציאטיביות יש לה תפקיד מעניין: היא יכולה לייצר אברי יחידה. תרגיל ( **) תהי (,A) אלגברה לא אסוציאטיבית עם אבר u כך ש l u :x ux הפיך. הראה שהפעולה # המוגדרת לפי u(x#y) = xy מגדירה אלגברהאיזוטופית,שבהu יחידהמשמאל. הדרכה. u l u(y) = y.u#y = l 1 u (uy) = l 1 תרגיל (**) (''הטריק של קפלנסקי'') האלגברה A איזוטופית לאלגברה עםיחידהאםורקאםישבהאבריםu,v כךש l u,r v הפיכים. אכן,אםA u,v.x y = rv 1 (x)l 1 ו l u,r v הפיכים,אזuv הואאבריחידהעבורהפעולה( y ) u הדרכה. באלגברה עם יחידה אפשר לבחור = 1 v u, = והאיזוטופיה שומרת על הפיכות של אופרטורי הכפל. x (uv) = ומצד שני ;(uv) y = r 1 v (uv)l 1 u (y) = ul 1 u (y) = l ul 1 בכיוון ההפוך, אם A נתונה אז u (y) = y.r 1 v (x)l 1 u (uv) = r 1 v (x)v = r ur 1 v (x) = x 1.2 אידיאלים וחוגי מנה בסעיף זה נציג את האובייקטים המשחקים תפקיד מרכזי במבנה הפנימי של חוג: אידיאלים חד צדדיים ודו צדדיים, הומומורפיזמים וחוגי מנה. 21

22 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים אידיאלים חד צדדיים ודו צדדיים כדילהבין חוגיםטוביותר, עלינו ללמודתת קבוצות שהמבנהשלהןקשורלזהשלהחוג כולו. כל הקבוצות שנלמד הן תת חבורות של החבורה החיבורית. הגדרה יהיR חוג. תת חבורהחיבוריתR L נקראתאידיאלשמאליאםלכלL a ו xa ;במקרהזהמסמניםR L,x R.L l בדומהלזהL אידיאלימניאםL ax לכל a L ו R x ;מסמניםR.L r אם I אידיאלשמאליוימני,הואנקראאידיאלדו צדדי(או סתם אידיאל),ואז מסמנים.I R תרגיל (*) הקבוצה{ 0 } היאאידאלשלR ;זהוהאידיאלהטריוויאלי. תרגיל (*) החוג כולו הוא אידיאל,הנקרא אידיאל לא אמיתי;ראו תת הסעיף ''אידיאלים אמיתיים''בהמשך. לפעמים המונח אידיאל מתייחס לאידיאל אמיתי דווקא (כלומר,כל אידיאל המוכל ממש בחוג). האידיאלים הדו צדדיים אנלוגיים לתת החבורות הנורמליות של חבורה. בחוג קומוטטיבי המושגים אידיאל ימני, שמאלי או דו צדדי מתלכדים. תרגיל (+*) לכלR a,הקבוצה{ R Ra = {xa: x היאאידיאלשמאלי שלR. תרגיל (**) אם L R אידיאל שמאלי, אז לכל a, R גם La אידיאל שמאלי. תרגיל (***) אידיאל הוא תת קבוצה של R הסגורה לחיבור ולחיסור,וסופגת כפל. הראהשההנחהעלסגירותלחיסוראינהנחוצה. האםתכונהזונכונהגם כאשרR חוגבלייחידה? תרגיל (*) נניחש I R אידיאל,ו R S תת חוגהמכילאת I. אזI S. תרגיל (**) נניחש I R אידיאל,ו R S תת חוג. אזS I אידיאלשל.S הגדרה אידיאל שמאלי מהצורה Ra נקרא אידיאל (שמאלי) ראשי. איחוד וחיתוך תרגיל (**) תהי Λ משפחה של אידיאלים שמאליים (ימניים,דו צדדיים) של חוג R. הוכח שהחיתוך L ΛL הוא אידיאל שמאלי (ימני, דו צדדי). הערה. השווה לתרגיל תרגיל (*) בפרט,אםR L 1,L 2 l אזR L,וכךלכלחיתוךסופי. 1 L 2 l {( )} 0 0 תרגיל (+**) נתבונןבחוגהמטריצות( Q ) M. 2 אז {( )} אידיאל ימני. החיתוך שלהם אינו אידיאל. 0 0 שמאלי,ו הוא אידיאל 22

23 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה ( ) ( ). R R I R R R R R תרגיל (**) יהיI R אידיאלבחוג. הראהש ( R ) = M 2 תרגיל (**) יהיו I,I R אידיאלים. הראה ש I I אידיאל אם ורק אם.I I או I I תרגיל (**) הוכח שהאיחוד λ I λ של שרשרת אידיאלים בחוג R (לאו דווקא בת מניה) הוא אידיאל. (השווה לתרגיל ,עמ' 41 ). בפרט,אם 2 I 1 I אידיאלים,אזהאיחוד I n הואאידיאל. קבוצת יוצרים את האידיאל הקטן ביותר המכיל קבוצה X R מסמנים בסימון X (השווה להגדרה ). אידיאל זה הוא החיתוך של כל האידיאלים המכילים את X., a = { n תרגיל (***) יהי.a R הראה ש { R i=1 x iax i: x i,x i כאשרהסכומיםכולםסופייםאבלn אינומוגבל. אידיאל שיש לו קבוצת יוצרים סופית הוא אידיאל נוצר סופית. אידיאלים אמיתיים הגדרה אידיאל(שמאלי,ימניאודו צדדי) שלR נקראאמיתיאםהואמוכלממשב R. תרגיל (**) אידיאלשמאליאמיתיאינומכילאףאברהפיךמשמאל. תרגיל (**) אידיאל(חד אודו צדדי) I הואאמיתיאםורקאם I.1 תרגיל (**) Ra הואאידיאלשמאליאמיתיאםורקאםa אינוהפיךמשמאל. תרגיל (**) נניח ש R קומוטטיבי, ויהי a. R אז a Ra = הוא אידיאל אמיתיאםורקאםa לאהפיך. תרגיל (**) בהמשךלתרגיל ,הראהשאםכלהאידיאלים I λ אמיתיים (ובחוגישאבריחידה),אזגם I λ אמיתי. הדרכה. תרגיל תרגיל (+**) יהי A 0 חוגבלייחידה. אםישa כךש A,אז 0 a = aa 0 = A 0 A 0 חוגעםיחידה. הדרכה. לפי ההנחה יש e A 0 כך ש a.ae = יהי c. A 0 לפי ההנחה קיים x כך ש xa c; = אבל אז,ce = xae = xa = c והראינוש e יחידה מימין. באותו אופןיש e כךש a,e a = ומכיווןשאפשרלכתוב כלc בצורה הואאברהיחידהשל.A 0 e = יחידהמשמאל. לפיתרגילe,1.1.7 e ו e c = c ay = ay = c,c = ay תרגיל (+**) יהי A 0 תחוםבלייחידה. אםיש a A 0 0 כךש,a aa 0 אז A 0 תחוםעםיחידה. הדרכה. לפי ההנחה יש e A 0 כך ש ae.a = אבל אז,ae 2 = ae ולכן = 0 e).a(e 2 מכיוון ש A 0 תחום,.e 2 = e לפיתרגיל (עמ' 14 ),אידמפוטנטבתחוםהואאבריחידה. תרגיל (+*) התכונות הבאות שקולות עבור חוג בלי יחידה לא טריוויאלי: 23

24 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים.a הואעללכל 0 l a.1 2. אין בחוג אידיאלים ימניים אמיתיים. 3. אין בחוג אידיאלים שמאליים אמיתיים. 4. זהוחוגעםחילוק,עםיחידה. הדרכה. נסמןאתהחוגב.A 0 :(2) (1) נניחש a C r A 0 0,אזC A = aa 0 ולכן.C = A 0 :(1) (2) נסמן{ 0 = 0.I = {x A 0 : xa אז I,ולפיההנחהיששתיאפשרויות: r A 0 אם I = A 0 אז 0 = 0 A 2 0 = IA בסתירה להנחהש A 0 אינוטריוויאלי. מכיווןשאיןבחוגאידיאליםימנייםלאטריוויאליים,בהכרח 0 =.I לכן,לכל 0 0,a,aA 0 אבלזהואידיאלימני,ומכאןש.Im(l a) = aa 0 = A 0 :(4) (1) תרגיל (עמ' 12 ). :(4) (3) תנאי( 4 ) סימטרי להחלפת ימין שמאל,ולכן הגרירה נובעת מ ( 4) (2 ) שכבר הוכחנו סכום ומכפלה של אידיאלים סכומים סופיים וכלליים יהי R חוג. הסכום של תת קבוצות A,B R הוא A+B = {a+b: a A,b B}; A = { a: a A}, בדומה לזה מגדירים ו ( A+( B.A B = תרגיל (*) A R הואתת חבורהחיבוריתאםורקאםA.A+A = A = תרגיל (**) יהיו L 1 L, 2 R אידיאלים שמאליים (ימניים, דו צדדיים). אז L 1 +L 2 הואאידיאלשמאלי(ימני,דו צדדי). תרגיל (**) חיבורקבוצות בחוגהואאסוציאטיביוקומוטטיבי: + (A+B).A+B = B ו A + C = A+(B +C) L Λ מוגדרכאוסף הגדרה תהיΛ משפחהשלאידיאליםשמאלייםשלR. אזהסכוםL הסכומיםהסופיים x 1 + +x n עבורΛ.x i L i באלגברה כל הסכומים סופיים. כדי שנוכל לחבר אינסוף קבוצות,יש להניח שכמעט כולן כוללות את אפס כאבר. תרגיל (**) הסכום של משפחת אידיאלים הוא איחוד כל הסכומים הסופיים. תרגיל (**) אם כל L Λ הוא אידיאל שמאלי (ימני, דו צדדי), אז גם L Λ L הואאידיאלשמאלי(ימני,דו צדדי). דוגמא סכום של תת חוגים אינו בהכרח תת חוג. למשל, סכומם של תת החוגים = 1 S ו 0 = 2 S של (Q) M 3 הוא, שאינו סגור לכפל. 24

25 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה מכפלה בתורת החבורות המכפלה של שתי תת קבוצות שווה לקבוצת המכפלות. בתורת החוגים ההגדרה אחרת: המכפלה שווה לאוסף הסכומים הסופיים של מכפלות, משום שרק כך אפשר להבטיח שהמכפלה סגורה לחיבור. הגדרה המכפלהשלקבוצותR A,B מוגדרתכאוסףשלסכומיםסופיים, A B = {a 1 b 1 + +a n b n : a i A,b i B}. תרגיל (***) תן דוגמא לאידיאלים,I J R בחוג (קומוטטיבי) R,כך שאוסף המכפלות{ J {xy: x I,y אינוסגורלחיבור. תרגיל (**) כפלקבוצותבחוגהואפעולהאסוציאטיבית: לכל A,B,C (A+B)C = הכפלגםדיסטריבוטיביביחסלחיבור:.(AB)C = מתקיים( A(BC R.A(B +C) = AB ו AC + AC +BC תרגיל (**) תת חבורהחיבוריתR L היא:.1 תת חוגאםורקאםL ;LL.2 אידיאלשמאליאםורקאםL ;RL.3 אידיאלימניאםורקאםL ;LR.4 אידיאלאםורקאםL.RL+LR תרגיל (**) יהיוR a,b אבריםבחוגקומוטטיביR. אזRab.Ra Rb = במובןזהכפלשלאידיאליםראשייםמכלילאתהכפלשלאבריםבחוג. תרגיל (+**) אם IJ = K אידיאליםשלחוגקומוטטיביו I,K ראשיים,אז גם J ראשי. תרגיל (**) אםR L l אזR LB l לכל.B המכפלה מאפשרת ליצור מאידיאל שמאלי ואידיאל ימני אידיאל דו צדדי: תרגיל (**) הראה שאם L l R אידיאל שמאלי ו R T r אידיאל ימני, אזLT R. ובפרט: תרגיל (**) הראהשהמכפלה IJ של שני אידיאלים I,J R היאאידיאל שלR. תרגיל (**) לכלשניאידיאליםI,J R,.IJ I J 25

26 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים תרגיל (**) אם R חוגקומוטטיבי ו S 1,S 2 תת חוגים, אז S 1 S 2 הוא תת חוג. תרגיל (***) תןדוגמאלחוג(לאקומוטטיבי) R עםשניתת חוגים S 1,S 2 כךשהמכפלה S 1 S 2 אינהתת חוג. הצעה. קחyR + S 1 = F ו Rx + S 2 = F כאשר F שדה ו F x,y R = היאהאלגברההחופשיתמעליו (הגדרה ). נסהלמצוא דוגמאשבה( F ).R = M n תרגיל (**) יהיR חוגעםמרכז( Z(R Z,ויהיR = S תת חוג. הראה ש ZS הואתת חוגשלR. (עובדהזומוליכהלהגדרה ) תרגיל (**) יהיR L l אידיאלשמאלי;אזלכלקבוצהLA,A הואאידיאל שמאלי. בפרט,כל קבוצה מהצורה Lx היא אידיאל שמאלי. טענה יהי I אידיאל של R. אם A הוא תת חוג, אידיאל שמאלי או אידיאל, אז A+I הוא תת חוג, אידיאל שמאלי או אידיאל, בהתאמה. בפרט: תרגיל (+**) יהיוI R ו R S אידיאלותת חוג. אז I S+ הואתת חוג שלR. סריג האידיאלים הגדרה קבוצה F עםיחססדרחלקינקראתסריגאםלכלשניאברים x,y F ישמינימום לקבוצת האברים הגדולים מ y, x,ומקסימום לקבוצת האברים הגדולים מ y,x. יהי F סריג. את האבר המינימלי הגדול מ x,y מסמנים,x y ואת המקסימלי בקבוצת האברים הקטנים מהם מסמנים.x y תרגיל (**) הפעולות הבינאריות, מקיימות את התכונות הבאות:.1 קומוטטיביות:.x y = y x,x y = y x.2 אסוציאטיביות: z).(x y) z = x (y z),(x y) z = x (y.3 ספיגה:.x (x y) = x,x (x y) = x.4 אידמפוטנטיות:.x x = x,x x = x תרגיל ( **) תכונת האידמפוטנטיות נובעת מתכונת הספיגה. הדרכה. חשב את.x (x (x x)) תרגיל (***) תהי F קבוצה המצויידת בפעולות בינאריות המקיימות את האקסיומותשבתרגיל, אז'' y x אם ורק אם ''x y = x (אםורק אם (x y = y מגדיריחססדרחלשעל F,ועבורוx y הואהאברהמינימליביןכל האבריםהגדוליםמ x,y,ו x y האברהמקסימליביןהקטניםמ x,y. 26

27 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה תרגיל (**) אוסף תת הקבוצות של קבוצה X,המסודר לפי הכלה, הוא סריג. אוסף האידיאלים של חוג סדור ביחס להכלה. משפט אוסף האידיאלים של חוג, עם יחס ההכלה, הוא סריג, שבו I J = I + J ו.I J = I J הוכחה. האידיאל הקטן ביותר המכיל את I,J הוא I, + J והאידיאל הגדול ביותר המוכל בשניהם הוא I. J מאפסים הגדרה אם B R תת קבוצה כלשהי, המאפס השמאלי של B הוא = (B) ann l.ann r (B) = {x R: Bx = המאפסהימניהוא{ 0.{x R: xb = 0} אם R קומוטטיבי שני המושגים מתלכדים כמובן,ואפשר לכתוב.ann(B) (נחזור לנושא זה בהגדרה ) תרגיל (+*) לכל תת קבוצה B, המאפס השמאלי (B) ann l הוא אידיאל שמאלישלR ;המאפסהימני( B ) ann r הואאידיאלימני. תרגיל (**) כל מאפס שמאלי שווה למאפס השמאלי של אידיאל ימני כלשהו. תרגיל (+*) מאפס שמאלי של אידיאל שמאלי הוא אידיאל דו צדדי: אם.ann l אידיאלשמאלי,אזI) R ) I l R תרגיל (+**).1 הראהשאם I J אז( I ).ann l (J) ann l.2 הראהש (( I ).I ann r (ann l.3 הראהשלכלקבוצהR.ann l (ann r (ann l (B))) = ann l (B),B תרגיל (**) (J).ann l (I +J) = ann l (I) ann l תרגיל (+**) יהיR חוגקומוטטיבי. לכלשניאידיאליםI,A R,נסמן (A : I) = {x R: Ix A}. יהיוI,J,A,B,C R..(A : I)I A הוא אידיאל. זהו האידיאל הגדול ביותר המקיים (A : I).1 בפרט( I.A (A :.(0 : I) = ann r (I).2.3 מונוטוניות: אם I J אז( I (A : J) (A : ו ( A.(I : A) (J : 27

28 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים.4 הפעולות m I (A) = IA ו ( I d I (A) = (A : מקיימות m I d I m I = m I ו.d I m I d I = d I.(B : C)(A : B) (A : C).5.A(B : I) (AB : I).6.((A : B) : C) = (A : BC).7.I (A : (A : I)).8.(A : I) (AB : IB).9.(A : I +J) = (A : I) (A : J).10 תרגיל (**) יהיR L l אידיאלשמאלי. הראהשהמאדל{ L L = {x R: Lx הואתת החוגהגדולביותרשלR שבו L הוא אידיאל דו צדדי. תרגיל (**) לכל אידיאל שמאלי L l R ואבר,b R נסמן = 1 Lb.(b 1 (איננומגדיריםכאןאת {x: xb L} 1. הראהש Lb ו 1 Lb הםאידיאליםשמאליים..2 נניחש L Lb (כלומר L b,ראהתרגיל ). אזL Rb,Lb 1 b =,Lbb 1 = L+0b 1 Lbb 1 b = Lb Lb 1 b L Lbb 1 Lb 1 = Lb 1 bb 1, ואלו כל האידיאלים שאפשר לקבל מ L על ידי הפעלת האופרטורים L Lb ו 1 Lb L לסירוגין חוגי מנה יהי R חוג. לכל תת חבורה I של החבורה החיבורית, חבורת המנה R/I הכוללת את כל הקוסטים {I a + I = {a+x: x היא אכן חבורה. השאלה היא מתי פעולת הכפל של נציגים מוגדרת היטב, ומתי אוסף הקוסטים הוא חוג. תרגיל (**) פעולתהכפל (a+i)(b+i) = ab+i מוגדרתהיטב(כלומר, בלתיתלויהבנציגים),אםורקאםI R. תרגיל (**) נניחש I R. אז R/I עםהפעולותלפינציגיםהואחוג,שבו אברהיחידההוא I+1. 28

29 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה הומומורפיזמים הומומורפיזם הוא פונקציה בין מבנים, השומרת על הפעולות (ועל היחסים והקבועים, כשיש כאלה). הגדרה יהיו R,S חוגים. הומומורפיזם של חוגיםהוא פונקציה ϕ:r S השומרת על החיבורוהכפל,כלומר,מקיימת( ϕ(x)+ϕ(y ϕ(x+y) = ו ( ϕ(x)ϕ(y ( ϕ(xy,ומקיימת = בנוסףאתהתנאי.ϕ(1 R ) = 1 S (ראוהכללהבהגדרה ) יש סוגי הומומורפיזם שקיבלו שמות מיוחדים: הגדרה הומומורפיזם R S נקרא אפימורפיזם או הטלה אם הוא על;מונומורפיזם או שיכון אם הוא חד חד ערכי;איזומורפיזם אם הוא חד חד ערכי ועל. הגדרה הומומורפיזם מחוג לעצמו, R R,נקרא אנדומורפיזם;ואם הוא חד חד ערכי ועל, אוטומורפיזם. כל המונחים האלה מקובלים גם בתורת החבורות. הומומורפיזמים של חוגים בלי יחידה הגדרה יהיוR,S חוגיםבלייחידה. פונקציהϕ:R S המקיימת+( ϕ(x ϕ(x+y) = ϕ(y) ו ( ϕ(x)ϕ(y ϕ(xy) = נקראת הומומורפיזם של חוגים בלי יחידה. כלומר,הומומורפיזםשלחוגיםבלייחידהאינונדרשלקייםאתהתנאי.ϕ(1 R ) = 1 S אכן, אם R או S הם חוגים בלי יחידה, אין מנוס מלדבר על הומומורפיזמים כאלה. תרגיל (**) יהיו R,S חוגים. הפונקציה R S המוגדרת לפי = 0 ϕ(x) לכלR x היאהומומורפיזםשלחוגיםבלייחידה,אבלאינההומומורפיזם. לפעמים הומומורפיזם של חוגים בלי יחידה מוכרח בכל זאת להיות הומומורפיזם של חוגים: תרגיל (**) אםR חוג(עםיחידה) ו ϕ : R S אפימורפיזםשלחוגים בלייחידה,אזS חוגעםיחידהו ϕ הואאפימורפיזםשלחוגים. תרגיל ( ***) אם R חוג עם יחידה ו ϕ : R S הומומורפיזם, 0,ϕ ובנוסף S תחום(הגדרה ),אז S חוגעםיחידהו.ϕ(1 R ) = 1 S (הדרכה. הראהש x ( ϕ(1 R ) 2 x = ϕ(1 R לכלS.(x תרגיל (**) מצאאתכלההומומורפיזמיםשלחוגיםבלייחידהZ Z,ואת כל אלה מביניהם שהם הומומורפיזמים של חוגים. 29

30 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים הגרעין והתמונה לכל הומומורפיזם מתלווים שני מבנים מוכרים: הגדרה יהי ϕ:r S הומומורפיזםשלחוגים(עםיחידהאובלעדיה). התמונהשלϕ היא.Ker(ϕ) = {x: ϕ(x) = הוא{ 0 הגרעיןשלϕ.Im(ϕ) = {ϕ(x): x S} תרגיל (**) התמונה של הומומורפיזם R S היא תת חוג של S,והגרעין הואאידיאלשלR. לכן כל הומומורפיזם הוא על התמונה של עצמו. לכל מונומורפיזם ϕ,ϕ:r S היא איזומורפיזם בין R לבין התמונה,Im(ϕ) שהיא תת חוג של S. לכן אפשר לראות ב R תת חוג של S, וזו הסיבה לכך שמונומורפיזם נקרא גם שיכון. לפעמים מסמנים שיכון R S בסימן.R S תרגיל ( **) ϕ:r S הואחד חד ערכיאםורקאם 0 =.Ker(ϕ) לפי תרגיל כל גרעין הוא אידיאל; גם ההיפך נכון - כל אידיאל הוא גרעין של הומומורפיזם: תרגיל (+**) יהי I R אידיאל. הראה שהפונקציה :θ R R/I המוגדרת לפי θ(a) = a+i היאאפימורפיזם. אפימורפיזםזהנקראההטלההקנוניתביחס ל I. תרגיל (**) יהי R חוג בלי יחידה. הגדר R 1 = Z R עם החיבור לפי רכיביםוהכפל( mx+xy +.(n,x)(m,y) = (nm,ny הוכחש R ˆ חוגעםיחידה, וש ( 0,x ) x הואשיכוןשלחוגיםבלייחידה.R R 1 כלומר,כלחוגבלייחידה אפשרלשכןבחוגעםיחידה. תרגיל ( ***) בהמשךלתרגיל ,תאראתהאידיאליםשלR ˆ. כהכללה של תרגיל , מתקיימת התכונה הבאה: תרגיל (**) יהי ϕ:r S הומומורפיזם. לכל,I S המקור = (I) ϕ 1 הואאידיאלשלR. {x R: ϕ(x) I} תרגיל (**) אםϕ:R S על,אזלכלאידיאלI R גם.ϕ(I) S ובכל זאת, באופן כללי תמונת אידיאל אינה בהכרח אידיאל: תרגיל ( ***) תן דוגמא לכך שהתמונה של אידיאל אינה בהכרח אידיאל. 30

31 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה חוגים איזומורפיים כמו בתורת החבורות (ובכל מבנה מתמטי אחר), איזומורפיזם הוא פונקציה חד חד ערכית ועל בין מבנים, השומרת על הפעולות (ועל היחסים והקבועים, כשיש כאלה). הגדרה יהיו R,Rחוגים. איזומורפיזםשלחוגיםהואפונקציהחד חד ערכיתועל ϕ:r R השומרתעלהחיבורוהכפל,כלומר,מקיימת( ϕ(x)+ϕ(y ( ϕ(x+yו ( ϕ(x)ϕ(y =,ϕ(xy) = ומקיימתבנוסףאתהתנאי R.ϕ(1 R ) = 1 (ראו הגדרה ) תרגיל (**) יהי ϕ:r Rאיזומורפיזםשלחוגים. הראהשהפונקציהההפוכה ϕ 1 :R R גםהיאאיזומורפיזם. חוגים שיש ביניהם איזומורפיזם הם חוגים איזומורפיים. האיזומורפיזם מאפשר לתרגם כל טענה אלמנטרית מחוג אחד לרעהו, ולכן כשהחוגים איזומורפיים חושבים עליהםכאילוהםלמעשהאותוחוג. בבעיותתאורטיותמעונייניםבמיוןשלחוגיםעדכדי איזומורפיזם, ולא מעבר לכך, משום שלכל חוג אפשר להצמיד באופן מלאכותי מחלקה שלמה של חוגים איזומורפיים: R {ω} R = לכל אבר ω של הקבוצה האוניברסלית. כדי להראות שחוגים אינם איזומורפיים די להצביע על תכונה שבה הם שונים: חוג קומוטטיבי אינו יכול להיות איזומורפי לחוג לא קומוטטיבי, וכן הלאה. ההוכחה שחוגים מסויימים הם כן איזומורפיים עשויה לדרוש הכרה טובה של שני החוגים, וטכניקות מגוונות משפטי האיזומורפיזם משפטי האיזומורפיזם של חוגים דומים לאלו של חבורות. משפט (משפט האיזומורפיזם הראשון) לכל הומומורפיזם של חוגים :φ, R S חוג המנה R/Ker(φ) איזומורפי ל ( Im(φ. תרגיל (**) יהי I R אידיאל. הראה ש ( I ) M n אידיאל של (R) M, n וש.M n (R)/M n (I) = M n (R/I).Z n תרגיל (**) הראהש Z/nZ = תרגיל (+**) נסמן 1 =.i הוכח:.Z[i]/ 2+i = Z[i]/ 2 i = Z/5Z משפט (משפט האיזומורפיזם השני) אםI Rאידיאלו R Sתת חוג,אז: S+I תת חוג של R (זהו תרגיל ), I אידיאל שלו (תרגיל 1.2.7), I S אידיאל של S (תרגיל ),ומתקיים S/S I = (S +I)/I. תרגיל (**) יהיו ϕ:r S הומומורפיזםו I S. לפיתרגיל ,= I.R/I = (Im(ϕ)+I)/I הראהש S/I.ϕ 1 (I) R 31

32 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים תרגיל (**) יהיו ϕ:r R שיכון ו R.I אם I = I R אז יש שיכון.R/I R /I משפט (משפט האיזומורפיזם השלישי) אם I J אידיאליםשלR,אז J/I אידיאל של R/I,ו.(R/I)/(J/I) = R/J טענה כל הומומורפיזם הוא הרכבה של שיכון, איזומורפיזם, והטלה. הוכחה. יהי ϕ:r S הומומורפיזם. נסמן Ker(ϕ) K, = ואז R R/K הטלה ו שווה ל ϕ. R R/K = Im(ϕ) S שיכון, וההרכבה R/K = Im(ϕ) S תרגיל (**) יהיו R חוג ו I R אידיאל שלו. אז לכל אידיאל I, A R I A R עבור α = A/I הוא מהצורה α R/I ולהיפך, כל אידיאל ;A/I R מתאים( x.(a = x α תרגיל מאפשר לסכם את משפטי האיזומורפיזם במשפט מרכזי על אידיאלים: משפט (משפט ההתאמה) יהי I אידיאל של חוג R. ההתאמה A A/I היא איזומורפיזם של סריגים מאוסף R שמכילים את I, אל אוסף האידיאלים של.R/I ההתאמה שומרת הכלה,חיבור,כפל וחיתוך,ומנות. תת החוג היסודי תרגיל (**) לכלחוגR קייםהומומורפיזםיחידZ R. התמונה של Z ב R היא תת חוג, הנקרא תת החוג היסודי של R. (תת החוג היסודי נקרא בדרך כלל ''תת החוג הראשוני'', אלא שהקשר בינו לבין חוג ראשוני שיוגדר בהמשך רופף למדי, והעדפנו לשנות את הטרמינולוגיה המקובלת.) תרגיל (**) לפימשפט לגרעיןשלZ R ישהצורהnZ,לאיזשהוn טבעי. הראהש n הואהמאפייןשלR. תרגיל (**) יהיR חוגשהמאפייןשלוn. הראהש Z n (איזומורפיל)תת חוג שלR. תת חוגזהנקראתת החוגהיסודישלR. אם R נוצר סופית מעל תת החוג היסודי שלו (הגדרה ), אומרים שהוא נוצר סופית. הומומורפיזם ויוצרים תרגיל (*) יהיו R,S חוגים, R 0 R תת חוג, ו ϕ:r S הומומורפיזם. הצמצוםS ϕ 0 :R 0 שלϕ מ R ל R,המוגדרלפי( ϕ(c 0 ϕ 0 (c) = (לכל,(c R 0 הוא הומומורפיזם. R ϕ S ϕ R 0 הגדרה יהיוR R 0 ו S חוגים,ויהיו ϕ:r S ו S ϕ 0 :R 0 הומומורפיזמים. אומריםש ϕ מרחיבאת ϕ 0 אם ϕ 0 הואהצמצוםשלϕ אל.R 0 32

33 פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה תרגיל (+**) יהי R 0 תת חוגשלR. נניחש [ X ] R = R 0 כאשרR.X הראהשאםלשניהומומורפיזמיםR S אותוצמצוםל R 0 והםמסכימיםעלאברי X,אזהםשווים. תרגיל (**) יהי :ϕ R S הומומורפיזם,ויהי R[x] חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל R. הראה שלכל אבר a במרכז (Im(ϕ)) C S קיים הומומורפיזם יחיד ϕ:r[x] S המרחיבאתϕ ומקייםa. ϕ(x) = כאשרϕ שיכון, זהו''הומומורפיזם ההצבה'' a.x תרגיל (**) אםR נוצרעל ידיאבראחדמעלתת חוגמרכזי R,אזR 0 הואחוגמנהשלחוגהפולינומים[ x ].R 0 תרגיל (**) כל חוג קומוטטיבי נוצר סופית מעל R 0 הוא מנה של חוג פולינומים[.R 0 [λ 1,...,λ n תרגיל (***) (בהמשך לתרגיל ) תן דוגמא לחוג R עם תת חוג R 0 ואבר,t R כך ש [ t ] R = R 0 (כלומר, R נוצרמעל R 0 על ידיt ; הואאינו בהכרח חוגפולינומים), עם חוג S והומומורפיזם,ϕ:R S עםאבר a, S כך שלאקייםהומומורפיזםהמרחיבאתϕ ומעביראתt ל a. החוג החופשי בסעיף זה נספק הכללה לתרגיל תהי X קבוצה של סמלים. המונויד החופשי מעל X הוא האוסף F X של מלים,x 1,...,x n X,x 1 x n עם פעולת ההדבקה. המלה הריקה היא האבר הנייטרלי של המונויד. הגדרה יהי R 0 חוג. החוג החופשיהנוצר על ידי X מעל R 0 הוא אוסף כל הביטויים הפורמליים α i w i כאשר α i R 0 ו w,עםפעולותהחיבורוהכפלהטבעיות;כמובחוג i F X הפולינומים,הסקלריםמ R 0 מתחלפיםעםכלאברשל.X אתהחוגהחופשימסמניםב X.R 0 דוגמא אם {x} X = קבוצה בת אבר אחד, X R 0 אינו אלא חוג הפולינומים.R 0 [x] אם {x,y} X = אז X R 0 כולל ביטויים כמו.x yxx + 3xy שלא כמו בחוג הפולינומים בשני משתנים, בחוג הזה.xy yx תרגיל ( ***) יהיS ϕ:r 0 הומומורפיזם,ויהי R X החוגהחופשיהנוצר על ידי הקבוצה X מעל R. 0 הראה שלכל פונקציה (Im(ϕ)) f :X C S קיים הומומורפיזםיחיד ϕ:r X S כךש ( ϕ(c ϕ(c) = לכלR c,ו ( f(x ϕ(x) = לכל.x X תרגיל ( ***) כלחוג S הנוצרסופיתמעל R 0 הואמנהשלחוגחופשי n,r 0 x 1,...,x ל n כלשהו. הערה. אם,ϕ:R 0 x 1,...,x n S כל קבוצת יוצרים של Ker(ϕ) (כאידיאל) נקראת קבוצת יחסים עבור S. 33

34 1.3. דוגמאות ובניה של חוגים פרק 1. חוגים ואידיאלים 1.3 דוגמאות ובניה של חוגים יש מעט מאד מקרים שבהם בונים חוג מההתחלה, כלומר על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל על קבוצה ובדיקת כל האקסיומות. בדרך כלל הבניה מתחילה בחוג אחר, מוכר יותר, ומתקדת משם. שתי בניות מסוג זה כבר פגשנו: המעבר מחוג לתת חוג, והמעבר לחוג מנה. בסעיף זה נכיר כמה מהבניות נוספות בניות קלאסיות חוג השלמים הדוגמא המכוננת לחוג היא חוג השלמים, Z. אפשר לבנות אותו מתוך מערכת פאנו (של המספרים הטבעיים) בעזרת הגדרת פעולות של חיבור וכפל על מחלקות שקילות של זוגות סדורים. חוג השלמים הוא החוג היחיד ממאפיין אפס שאין לו תת חוגים (עם יחידה). טענה לכל a Z ו > 0 b יש q,r Z כך ש b + a = qr ו b r <.0 הוכחה. בנפרד עבור המקרים > 0 a ו 0 < a, באינדוקציה על a. משפט כלאידיאלשלZ הואראשי. הוכחה. יהי I Z 0 אידיאל שונה מאפס. יהי a I אבר חיובי מינימלי. ברור ש I. a יהי,x I אז אפשר לכתוב x = qa + r כאשר r < a,0 אבל אז,r = x qa I ומכיוון ש a r < ו a מינימלי, לא יתכן ש r <.0 לכן = 0 r ומכאן ש a.x = qa Za = תרגיל (**) חוגיהמנהשלZ הםהחוגיםZ/nZ שבהםהפעולותהןחיבור וכפל מודולריים. מטריצות הקורא שלמד אלגברה לינארית כבר מכיר את חוגי המטריצות (F) M, n כאשר F שדה. המבנה העקרוני של חוגי מטריצות, עם זאת, אינו תלוי בסוג הסקלרים שמעליהם עובדים. יהי R חוג. התוצאות העיקרית בסעיף זה הן משפט על המרכז של חוג מטריצות, ומשפט על האידיאלים של חוג מטריצות. הגדרה לכלn 1,חוגהמטריצות( R ) M n הואאוסףהמטריצותמסדרn n מעלR, עםפעולתהחיבורלפירכיביםופעולתהכפל.(AB) ij = k A ikb kj תרגיל (+**) (R) M n הואאכןחוג,ואברהיחידהשלוהואמטריצתהיחידה (בדוק את כל האקסיומות!). המטריצות e, ij שכל רכיביהן 0 פרט לרכיב ה ( i,j ) השווה ל 1, נקראות יחידות מטריצות. תרגיל (*) 1 n = e ii הואאברהיחידהשל( R ).M n 34